交换排序：快速排序

快速排序(Quick Sort)也是一种交换排序，它在排序中采取了分治策略。

快速排序的主要思想：

从待排序列中选取一元素作为轴值(也叫主元)。
将序列中的剩余元素以该轴值为基准，分为左右两部分。左部分元素不大于轴值，右部分元素不小于轴值。轴值最终位于两部分的分割处。
对左右两部分重复进行这样的分割，直至无可分割。

从快速排序的算法思想可以看出，这是一递归的过程。

两个问题：

要想彻底弄懂快速排序，得解决两个问题：

如何选择轴值？(轴值不同，对排序有影响吗？)
如何分割？

问题一：轴值的选取？

轴值的重要性在于：经过分割应使序列尽量分为长度相等的两个部分，这样分治法才会起作用。若是轴值正好为序列的最值，分割后，元素统统跑到一边儿去了，分治法就无效了。算法效率无法提高。-看别人写快排的时候，注意他轴值的选取哦。

问题二：如何分割？

这涉及到具体的技巧和策略。在稍后的代码中我们一一介绍。

快速排序版本一：

直接选取第一个元素或最后一个元素为轴值。这也是国内众多教材中的写法。

举个例子：
原序列 4 8 12 1 9 6

下标 0 1 2 3 4 5 轴值 pivot=4

初始化 i j

i j i不动，移动j，while(i<j && a[j]>=pivot)j--;

移动元素 1 8 12 1 9 6

i j j不动，移动i，while(i<j && a[i]<=pivot)i++;

移动元素 1 8 12 8 9 6

i,j 再次移动j，i和j相遇，结束

最后一步 1 4 12 8 9 6 pivot归位

轴值4的左右两部分接着分割……

我想你一定看懂了，并且这轴值4，真的没选好，因为分割后左部分只有一个元素。

有人称上面的做法是：挖坑填数。这种描述真的很形象。简单解释下：首先取首元素为轴值，用变量pivot存储轴值，这就是挖了一个坑。此时，a[0]就是一个坑。接着移动j，把合适位置的j填入a[0]，于是a[j]成了新的坑。旧的坑被填上，新的坑就出现。直到i和j相遇，这最后一个坑，被pivot填上。至此完成了第一趟分割……

看懂了，就动手敲代码吧！

void QuickSort(int a[], int n)  //快速排序，版本一
{
	if (a && n > 1)
	{
		int i, j, pivot;  //pivot轴值
		i=0, j = n - 1;
		pivot = a[0];   //第一个元素为轴值
		while (i < j)
		{
			while (i < j && a[j] >= pivot)
			j--;
			if (i < j)
			a[i++] = a[j];
			while (i < j && a[i] <= pivot)
			i++;
			if (i < j)
			a[j--] = a[i];
		}
		a[i] = pivot;   //把轴值放到分割处
		QuickSort(a, i);
		QuickSort(a + i + 1, n - i -1);
	}
}

现在想想以最后一个元素为轴值的代码了，先别急着看，先动动手哦！代码如下：

void QuickSort(int a[], int n)
{
	if (a && n > 1)
	{
		int i, j, pivot;  //pivot轴值
		i = 0, j = n - 1;
		pivot = a[j];   //最后一个元素为轴值
		while (i < j)
		{
			while (i < j && a[i] <= pivot)
				i++;
			if (i < j)
				a[j--] = a[i];
			while (i < j && a[j] >= pivot)
				j--;
			if (i < j)
				a[i++] = a[j];
		}
		a[i] = pivot;   //把轴值放到分割处
		QuickSort(a, i);
		QuickSort(a + i + 1, n - i - 1);
	}
}

轴值选取策略

为了让轴值pivot不至于无效(不让pivot出现最值的情况)。我们可以使用一些策略来改进pivot的选取。

策略一：

随机选取序列中一元素为轴值。

int SelectPivot(int a[], int low, int high)
{
	int size = high - low + 1;
	srand((unsigned)time(0));
	return a[low + rand()%size];
}

选取首尾元素不就是该策略的一种特例！

策略二：

随机选取三数，取中位数。

int SelectPivot(int a[], int low, int high)
{
	int size = high - low + 1;
	int p1, p2, p3;
	srand((unsigned)time(0));
	p1 = low + rand()%size;
	p2 = low + rand()%size;
	p3 = low + rand()%size;
	/*
	*  下面的交换不好理解：
	*  经过前两次的交换，p1指向最小的，
	*  所以最后两个最大的比较，把次最大的交换到 p2  
	*/
	if(a[p1] > a[p2])
		swap(p1, p2);
	if(a[p1] > a[p3])
		swap(p1, p3);
	if(a[p2] > a[p3])
		swap(p2, p3);
	return a[p2];
}

它的一种特例就是，选取原序列首、尾、中间三数，取它们的中位数。

目前看来基本常用的就这两种策略。不过我得吐槽一句：如果原序列中的元素本身就是随机存放的，也就是说，各个元素出现在各个位置的概率一样。那么特别地选取首尾元素和随机选取又有什么区别呢？不知大家怎么看？

还得补充一句：随机选取轴值后，记得要把它和首或尾的元素交换哦。至于为什么？你懂的！

快速排序版本二：

这也是《算法导论》上的版本。它的普遍做法是选取尾元素为pivot。重点是使用了一个分割函数：partition()。

伪代码与如下：

PARTITION(A, low, high)

1. pivot <- A[high] //选取尾元素为轴值

2. i <- low-1 //把low-1赋值给i，下同

3. for j <- low to high-1 //j的变化范围[low, high-1]

4. do if A[j] <= pivot

5. then i <- i+1

6. exchange A[i]<->A[j]

7. exchange A[i+1} <-> A[high]

8. return i+1; //返回的是分割的位置

然后，对整个数组进行递归排序：

QUICKSORT(A, low, high)

1 if low < high

2 then q <- PARTITION(A, low, high) //对元素进行分割就在这里

3 QUICKSORT(A, low, q - 1)

4 QUICKSORT(A, q + 1, high)

如果你不习惯于看伪代码，我来举个例子：(还是上面的序列)

原序列 4 8 12 1 9 6

下标 -1 0 1 2 3 4 5 轴值pivot是6

初始化 i j a[j]=a[0]=4<6，下一步先 i++;再swap(a[i],a[j]);随后j++;

交换 4 8 12 1 9 6

i j 接着移动j

i j a[j]=a[3]=1<6，下一步…

交换 4 1 12 8 9 6

i j

交换 4 1 6 8 9 12 最后一步 swap(a[i+1], a[high]);或者是 swap(a[i+1], a[j]);

所以最后返回的是 i+1

用大白话讲讲上面的排序过程：用两个指针i,j，它们初始化为i=-1;j=0，接着让j不断地自增，遇到a[j]>pivot就与i交换，直到j指向末尾。

更直白的话：从头开始遍历原序列，遇到小于轴值的就交换到序列前面。

看懂了，就写代码了…

int partition(int a[], int low, int high)
{
	int i, j;
	i = low - 1;
	j = low;
	while (j < high)
	{
		if (a[j] < a[high])
		swap(a[++i], a[j]);
		j++;
	}
	swap(a[++i], a[high]);    //主元归位 
	return i;  //上面一步已经 ++i，所以这里不用 i+1 
}
void quicksort(int a[], int low, int high)
{
	if (low < high)  //至少两个元素，才进行排序 
	{
		int i = partition(a, low, high);
		quicksort(a, low, i - 1);
		quicksort(a, i + 1, high);
	}
}
void QuickSort(int a[], int n)
{
	if (a && n>1)
		quicksort(a, 0, n - 1);	
}

题外话：看到有的Api设计是这样的：QuickSort(int a[], int low, int high)。居然让用户多写一个0！如此不为用户考虑。应越简洁越好。排序只给数组名和数组大小，即可。

对上面的流程再思考：看到初始化i=-1;你不觉得奇怪吗？为什么i一定要从-1开始，仔细了解了i的作用，你会发现i本可以从0开始。这种做法的partition()方法是这样的：

int partition(int a[], int low, int high)
{
	int i, j;
	i = low;  //这里与上一种的做法不同哦！
	j = low;
	while(j < high)
	{
		if (a[j] < a[high])
		swap(a[i++], a[j]);
		j++;
	}
	swap(a[i], a[high]);    //主元归位 
	return i;  
}

再思考：为什么j不能指向high？若是更改if(a[j]<a[high])为if(a[j]<=a[high)，最后直接把a[high]交换到前面了，也就是说在while循环里面就完成了最后“主元归位”这一步。大家想想是不是？

此时的partition()是这样的：

int partition(int a[], int low, int high)
{
	int i, j;
	i = low;
	j = low;
	while (j <= high)
	{
		if (a[j] <= a[high])
		swap(a[i++], a[j]);
		j++;
	}
	return i-1;   //这里为什么是i-1，得想明白？
}

至于有时候把quicksort()和partition()写成一个函数，那是再简单不过的事情，你肯定会的。

快速排序版本三：

上面用的都是递归的方法，把递归转化非递归总是不简单的，也总让人兴奋。这个版本就是快速排序的非递归写法;

void QuickSort(int a[], int low, int high)
{
	if (low < high)
	{
		stack<int> s;   //使用STL中的栈 
		int l,mid,h;
		mid = partition(a, low, high);
		/*
		首先存储第一次分割后的 [low, mid-1]和 [mid+1, high] 
		注意：这是成对存储的，取的时候注意顺序 
		*/ 
		if (low < mid-1)
		{
			s.push(low);
			s.push(mid - 1);
		}
		if (mid + 1 < high)
		{
			s.push(mid + 1);
			s.push(high);
		}
		//只要栈不为空，说明仍有可分割的部分 
		while(!s.empty())
		{
			h=s.top();
			s.pop();
			l=s.top();
			s.pop();
			mid = partition(a, l, h);
			if (l < mid - 1)
			{
				s.push(l);
				s.push(mid - 1);
			}
			if (mid + 1 < h)
			{
				s.push(mid + 1);
				s.push(h);
			}	
		}
	}
}

这个非递归的写法是很有意思的，很需要技巧。仔细想想，你能明白的。

提示：用栈保存每一个待排序子序列的首尾元素下标，下一次while循环时取出这个范围，对这段子序列进行partition操作。