第一章 基础算法（一）

一、排序

1、快速排序

主要思想——分治

1. 确定分界数：q[l] q[(l+r)/2] q[r] 随机取点

2. 调整区间：使得第一个区间里面的数都小于等于x，第二个区间里所有的数都大于等于x（考察重点：如何优雅的把区间一分为二）

3. 递归处理左右两区间

划分区间（暴力）

1. 创建两个空数组 a[] b[]

2. 扫描整个区间 q[l] ~ q[r] 如果q[i] <= x，则把x插入a数组中

   ​ 如果q[i] > x , 则把x插入b数组中

3. 先把a数组中的数放入q，再把b数组中的数放入q

划分区间（优美）

在q区间的首部和尾部设置两个指针i和j，首先对于i指针，若i当前所对应的值小于分界值x，则将i不断向右移动，直到遇到某一个点的值大于等于x，此时停止移动指针i，开始操作指针j，若当前j指针所对应的值大于分界值x，则将j不断向左移动，直到遇到一个点的值小于等于x，此时停止移动指针j，并将i与j所对应的点的值交换，直到i与j相遇，此时分界完成，j及其左边的点一定小于等于x，i右边的点一定大于等于x。

快排模板

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n;
int q[N];

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r)
        return;

    int x = q[l], i = l - 1, j = r + 1;
    while (i < j)
    {
        do
            i++;
        while (q[i] < x);
        do
            j--;
        while (q[j] > x);
        if (i < j)
            swap(q[i], q[j]);
    }
    //采取j的递归写法，则x初始化时不能初始化为q[r]，否则会有边界问题，陷入死循环
    quick_sort(q, l, j); 
    quick_sort(q, j + 1, r);
    //采取i的递归写法，则x初始化时不能初始化为q[l]，否则会有边界问题，陷入死循环
    // quick_sort(q, l, i - 1);
    // quick_sort(q, i, r);
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &q[i]);

    quick_sort(q, 0, n - 1);

    for (int i = 0; i < n; i++)
        printf("%d", q[i]);

    return 0;
}

2、归并排序

主要思想——分治

1. 确定分界点：mid = ( l + r) / 2
2. 递归排序left，right
3. 归并——合二为一（重点）

算法过程

算法复杂度O(nlogn)

算法模板

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

int n;
int q[N], tmp[N];

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l >= r)
        return;
    int mid = l + r >> 1;
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid+1, r);
    int k = 0,i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r)
    {
        if(q[i] <= q[j])
            tmp[k++] = q[i++];
        if(q[i] > q[j])
            tmp[k++] = q[j++];
    }
    while(i <= mid)
        tmp[k++] = q[i++];
    while(j <= r)
        tmp[k++] = q[j++];
    
    for(i = l, j = 0; i <= r;i++, j++)
        q[i] = tmp[j];
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n;i++)
        scanf("%d", &q[i]);
    merge_sort(q, 0, n - 1);
    for(int i = 0; i < n;i++)
        printf("%d ", q[i]);
    return 0;
}

二、二分法

1、整数二分

有单调性的一定可以二分，二分的并不一定有单调性

左边性质与右边性质不相同，可以使用二分法寻找红色与绿色的边界值

二分红色点

1. mid = (l + r + 1) / 2
2. 判断mid是否满足红色性质，如果满足，说明mid满足条件，则mid应在红色区间中，因此目标答案应该在 [mid, r] 之间，则更新情况为 l = mid；如果不满足，说明mid应该在绿色区间中，因此目标答案在 [l, mid - 1] 之间 ，则更新情况为 r = mid - 1。

// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (checked(mid))
            l = mid;
        else
            r = mid - 1;
    }
    return l;
}

二分绿色点

1. mid = (l + r) / 2
2. 判断mid是否满足绿色性质，如果满足，则mid应在绿色区间中，因此目标答案在 [l, mid] 之间，则更新情况为 r = mid ；如果不满足，说明mid应该在红色区间中，因此目标答案在 [mid + 1, r] 之间，则更新情况为 l = mid + 1。

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (checked(mid)) // checked()判断mid是否满足性质
            r = mid;
        else
            l = mid + 1;
    }
    return l;
}

区分两种模板

首先写出check(mid)方法，观察接下来为True需要写l = mid还是r = mid，如果是l = mid，则在原来mid赋值的分母需要补上加1，反之，则不需要补1。

例题

给定一个按照升序排列的长度为n的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素k的起始位置和终止位置（位置从0开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。

输入格式

第一行包含整数n和q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含n个整数（均在1~10000范围内），表示完整数组。

接下来q行，每行包含一个整数k，表示一个询问元素。

输出格式

共q行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回“-1 -1”。

数据范围

1≤n≤1000001≤n≤100000
1≤q≤100001≤q≤10000
1≤k≤100001≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

题解：

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;

int n, m;
int q[N];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d", &q[i]);

    while (m--)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r)
        {
            int mid = l + r >> 1;
            if (q[mid] >= x)
                r = mid;
            else
                l = mid + 1;
        }
        if(q[l] != x) cout<<"-1 -1"<<endl;
        else
        {
            cout<<l<<" ";

            int l = 0, r = n-1;
            while(l < r)
            {
                int mid = l + r + 1>> 1;
                if(q[mid] <= x)
                    l = mid;
                else r = mid-1;
            }
            cout << l << endl;
        }
    }
    return 0;
}

2、浮点数二分

浮点数二分求平方，不需要考虑边界问题。

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    double x;
    cin >> x;
    double l = 0, r = x;
    while (r - l > 1e-6)   // 此处的-6精度一般要比小数精度多2
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (mid * mid >= x)
            r = mid;
        else
            l = mid;
    }
    printf("%lf\n", l);

    return 0;
}